gulden snede |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
laats bijgewerkt 14-08-2016 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
De gulden snede is een verdeling van de lijn AB in twee delen zodanig dat:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met bovenstaande constructie wordt het lijnstuk als zodanig verdeeld. - teken een rechte lijn, - neem een punt B op de lijn - richt een loodlijn op in B - neem op de loodlijn een punt P - cirkel Met middelpunt B, BP om naar de beginlijn en vind M - zet BP uit op de lijn vanuit M en vind A Dit kan natuurlijk ook anders maar nu heb je een rechthoekige driehoek ABP Lange rechthoekszijde is tweemaal korte rechthoekszijde - cirkel met middelpunt P, PB om naar PA , vind punt C’op PA - cirkel met middelpunt A de afstand AC’ om naar AB en vind C Hiermee is de lijn verdeeld volgens de gulden snede.
Bewijs: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
BP = 1 dan AB = 2 pythagoras: 1² + 2² = AP² AP = √ (1² + 2²) = √5 . [Het betreft hier de lengte van het lijnstuk AP. Er is dus slechts één, positief, antwoord] |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AP = √5 PC’ = PB = 1 AC = AC’ = AP – PC’ = AP – 1 = √5 – 1 AB = 2 BC = AB – AC = 2 – (√5 – 1) = 3 – √5 AB × BC = 2 × (3 – √5) = 6 – 2√5 AC × AC = (√5 – 1) × (√5 – 1) = 6 – 2√5
AB × BC = AC × AC of anders geschreven:
dit maakt de volgende berekening mogelijk: = ≝ φ = 0,6180339887
[voor de verhouding AC/BC=AB/AC ≝ Φ = 1,6180339.. ]
dus als AC bekend dan BC te berekenen en als BC bekend dan AC te berekenen
bijvoorbeeld als AC = 2,97 cm dan kruislings vermenigvuldigen. BC × 1 = AC × φ BC = 2,97 × 0,6180339887 = 1,83556 cm wat de volgende rechthoek oplevert die zijden heeft volgens de gulden snede:
Vergelijk de constructie
deze rechthoek is in de zelfde verhouding als al geconstrueerd hierboven
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Een rechthoek in de verhouding van de gulden snede, [bijvoorbeeld met een bepaald oppervlak en met een vastgestelde lengte van één van de zijden], maakt deel uit van een serie op de volgende manier: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Bovenstaande rechthoek is in de verhouding van de gulden snede. dat betekent dat:
de rechthoek met korte zijde b-a en lange zijde a is ook een rechthoek in de verhouding van de gulden snede. bewijs:
verhouding zijden grote rechthoek
a × (a + b ) = b2
a2 + ab = b2
Trek van de grote rechthoek een vierkant af met zijden a dan ontstaat een rechthoek met zijden b-a en a. Als deze rechthoek in de verhouding van de gulden snede is, dan moeten de zijden in de zelfde verhouding staan als die van de grote rechthoek met zijden a en b.
Dit omwerken
b × ( b – a ) = a2 b2 – ab = a2 b2 = a2 + ab = a × (a + b )
Wat weer te schrijven valt als:
net als is als de verhouding van de oorspronkelijke rechthoek. Waarmee de kleine, tweede, rechthoek dus ook in de verhouding van de gulden snede is.
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
opmerkingen:
- De paarse lijnen zijn de diagonalen van de eerste twee rechthoeken. Met behulp van deze lijnen kunnen achtereenvolgens alle verdere rechthoeken getekend worden.
- Deze verdeling kan ook mooi gebruikt worden voor het tekenen van een krul of overgangsboog.
- De getallen φ en Φ kunnen niet door breuken vervangen worden.
- Met de rij van Fibonacci kunnen de getallen φ en Φ bij benadering berekend worden. Hoe verder in de rij een getallenpaar genomen wordt hoe beter de benadering.
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ter vergelijking Van een rechthoek met A4 formaat staan de zijden in de verhouding 1/√2 neem bijvoorbeeld de korte zijde 21 dan:
lange zijde = 21 × √2 = 29,7
De A4 rechthoek hieronder met die maten [op schaal] benadert de rechthoek met de verhouding van de gulden snede
A4
De twee figuren over elkaar heen tonen het verschil:
A4 met daaroverheen gulden snede waarbij lengte gelijk aan A4
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
links: |
Er is eindeloos veel op het net te vinden nederlands: gulden snede frans: Nombre d'or duits: Goldener Schnitt engels: Golden ratio esperanto: ora proporcio
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|